Pueba de angulos

TEMA: PROGRESION ARITMETICA
Una progresión es aritmética si entre cada par de términos consecutivos de ella hay una diferencia constante (razón aritmética) que se designa con la letra “r”
Dada la progresión aritmética 12345 ; ; ; , ... naaaaaa
La razón “r” se determina por 2132431....nnraaaaaaaa
Luego si “1a”, es el primer término de una progresión y “r” es la diferencia entre dos términos consecutivos, entonces una progresión aritmética (PA), se puede escribir como
112132114311541111122334(2)(1)nnaaaaraararraraararraraararraraaranrranr
Termino enésimo (na)
1(1)naanr donde
Ejemplo 1.- Dado el primer término y la razón aritmética de una progresión aritmética. Determina los 6 primeros términos de dicha progresión aritmética
a) 13 2ayr
÷ 3; 5; 7; 9; 11; 13; ...
b) 14 2ayr
c) 15 4ayr
1a: primer término de una PA
r : razón aritmética de la PA
n : número de términos de la PA
na: término enésimo de la PA
Lic. Henrry Teves Pinedo
Ejemplo 2.- Calcula el término que ocupa el lugar 15 de la PA: 7; 11 ; 15; …
Ejemplo 3.- Se sabe que en una PA el término que ocupa el lugar 12 es 24 y que la razón es 2. Halla el primer término de la progresión
Ejemplo 4.- Se sabe que en una PA el término que ocupa el lugar 18 es 16 y el término que ocupa el lugar 30 es 48. Halla la razón de la progresión
Ejemplo 5.- Se desea saber el número de múltiplos de 5 que hay entre 9 y 308
Lic. Henrry Teves Pinedo
Ejemplo 6.- Se sabe que en una PA el término que ocupa el lugar 3 es -7 y que la razón es 7. Determina el noveno término de la PA
Ejemplo 7.- ¿Cuántos números impares hay desde 19 hasta 271?
Ejemplo 8.- Si la PA : (a - 4); (a - 1); (a + 2); … tiene 41 términos. Halla el último término
Ejemplo 9.- ¿Qué término de la PA es 89? : -15; -13; -11, -9; …
Lic. Henrry Teves Pinedo
SUMA DE LOS “n” PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMETICA
Para encontrar la suma de los “n” primeros términos de una PA, se utiliza las siguientes fórmulas:
12nnaaSn 1212nnSanr
PROPIEDADES
1) “La suma de dos términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos”
Ejemplo .- Sea la Progresión aritmética
3; 9; 15; 21; 27; 33; 39
2) “En una PA de un número impar de términos, el término central es igual a la semisuma de los extremos”
Ejemplo .- Sea la Progresión aritmética
-8; -4; 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24
Aplicando la fórmula 12ncaaa
1824168222ncaaa
El término central de la PA es 8
EJERCICIOS
1) Halla la suma de los 20 primeros términos de la PA: 6; 9; 12; 15; …
Lic. Henrry Teves Pinedo
2) ¿Cuántos términos hay que tomar en la PA: 1; 5; 9; … para que la suma sea 780
3) Halla la suma de los 12 términos de una PA sabiendo que 31024 y 66aa
4) Halla la suma de los números impares comprendidos entre 21 y 157
Lic. Henrry Teves Pinedo
5) Una PA tiene 15 términos y su término central vale 5 ¿Cuánto vale la suma de los 15 términos?
6) Calcula la suma de los 40 primeros términos de una PA, sabiendo que la suma del segundo y el penúltimo término es 498
7) Halla “k” en la PA: (8k + 4); (6k - 2); (2k – 7)
Lic. Henrry Teves Pinedo
11naarn
INTERPOLACIÓN DE MEDIOS ARITMÉTICOS O DIFERENCIALES
“Interpolar significa interponer, insertar o intercalar una o más cosas entre otras dos dadas o conocidas”
RAZÓN DE INTERPOLACIÓN
Ejemplo 1.- Interpola 4 medios diferenciales entre los números 3 y 28
Ejemplo2.- Interpola 3 medios aritméticos entre -10 y 10
Lic. Henrry Teves Pinedo
Una progresión geométrica es:
 Creciente, si la razón es mayor que uno;
q > 1
 Decreciente, si la razón geométrica es mayor que cero y menor que uno, 0 Constante, si la razón es igual a uno, q = 1
 Oscilante, si la razón es menor que cero, q<0
PROGRESION GEOMÉTRICA
Una progresión es geométrica si entre cada par de términos consecutivos de ella hay una razón constante (razón geométrica) que se designa con la letra “q”
Dada la progresión geométrica 1 2345 ; ; ; , ... n a aaaaa 
La razón “q” se determina por 2341231....nnaaaaqaaaa
Luego si “ 1 a ”, es el primer término de una progresión y “q” es la razón entre dos términos consecutivos, entonces una progresión geométrica (PG), se puede escribir como
11212321123431134541121111..........nnnnaaaaqaaqaqqaqaaqaqqaqaaqaqqaqaaqaqqaq
Termino enésimo ( n a )
11nnaaq donde
Ejemplo 1.- Dado el primer término y la razón geométrica de una progresión geométrica. Determina los 5 primeros términos de dicha progresión geométrica
a) 11 3ayq
÷ 1; 3; 9; 27; 81; ...
b) 12 2ayq
c) 121 32ayr
1 a : primer término de una PG
q : razón geométrica de la PG
n : número de términos de la PG n a
: término enésimo de la PG
Lic. Henrry Teves Pinedo
Ejemplo 2.- Calcula el término que ocupa el lugar 24 de la PG: 4; 12 ; 36; …
Ejemplo 3.- Se sabe que en una PG el término que ocupa el quinto lugar es 48 y que la razón es 2. Halla el primer término de la progresión
Ejemplo 4.- Se sabe que en una PG el término que ocupa el sexto lugar es 486 y el primer término es 2. Halla la razón de la progresión
Ejemplo 5.- Halla el término de lugar 20 de la PG 111 ; ; ; ...100010010
Lic. Henrry Teves Pinedo
PRODUCTO DE LOS “n” PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMETRICA
Para encontrar el producto de los “n” primeros términos de una PG, se utiliza la siguientes fórmulas:
1.nnnPaa
Ejemplo: Calcula el producto de los 6 primeros términos de la PG 2; 6; 18; ...
Solución
La razón es 632q aplicando la fórmula 61151232(3)486nnaaq
Luego aplicando en la fórmula 66321.2.486972972nnnPaa
PROPIEDADES
1) “En toda PG el producto de dos términos equidistantes de los extremos es igual a al producto de los extremos”
Ejemplo .- Sea la Progresión geométrica
3; 9; 27; 81; 243; 729
2) “En una PG de un número impar de términos, el término central es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos”
Ejemplo .- Sea la Progresión geométrica
2; 6; 18; 54; 162
Aplicando la fórmula 2.16232418ct
Lic. Henrry Teves Pinedo
111nnaqSq11nnaarSr
SUMA DE LOS “n” PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMETRICA
Para encontrar la suma de los “n” primeros términos de una PG, se utiliza las siguientes fórmulas:
EJERCICIOS
1) Calcula la suma de los cinco primeros términos de la progresión geométrica:
4; 12; 36; ….
2) Una PG tiene como primer término a 2 y la razón igual a3. Halla la suma de sus doce términos
Lic. Henrry Teves Pinedo
11sq
SERIE GEOMETRICA INFINITA
La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica indefinida decreciente es una fracción cuyo numerador es el primer término y cuyo denominador es la unidad disminuida en la razón
EJERCICIOS
Ejemplo 1.- Halla el valor de la serie geométrica: 119; 3; 1; ; ; ...39
Ejemplo 2.- Halla el valor de la serie geométrica: 4420; 4; ; ; ...525
Lic. Henrry Teves Pinedo
11nnaqa
INTERPOLACIÓN DE MEDIOS ARITMÉTICOS O DIFERENCIALES
“Interpolar significa interponer, insertar o intercalar una o más cosas entre otras dos dadas o conocidas”
RAZÓN DE INTERPOLACIÓN
Ejemplo 1.- Interpola 6 medios geométricos entre los números 12 y 64
Ejemplo2.- Interpola 3 medios aritméticos entre 1 y 16
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ACTIVIDAD # 1
1) Halla el término de lugar 120 en la progresión aritmética: -8; -3; 2; 7; 12; …
2) Halla el término de lugar 26 en la progresión aritmética: 275; ; ; ...363
3) Obtener el término 40 de una PA sabiendo que a25 = 50 y r = -3
4) Se sabe que en una PA el término que ocupa el lugar 12 es 42 y la razón es 2. Halla el primer término
5) En una PA el término de lugar 40 es 59; el termino de lugar 27 es 33. Halla la razón y el primer termino
6) ¿Cuántos números pares hay entre: 31 y 128
7) ¿Cuántos múltiplos de 4 hay entre 10 y 116?
8) ¿Cuánto es la suma de los 25 términos de la progresión aritmética ,cuyo primer término es 4 y cuya razón es 10
9) Una PA de 30 términos tiene por primer término 200 y por suma 5130 ¿Cuánto vale la razón y el último término?
10) Halla la suma de los 25 primeros términos de la PA: 21116; ; ; ...51515
11) Halla la suma de los números impares desde 29 hasta137
12) Suma los 30 múltiplos de 5 siguientes a 50
13) Una PA tiene 33 términos y su término central es vale 8.¿Cuánto vale la suma de los 33 términos?
14) En la PA, 6;1;4;9;...xxxx hay 37 términos. Halla el último término
15) El mayor de tres números que forman una PA es el triple del menor. ¿Cuál es el mayor de estos tres números, si su producto es 1296?
Lic. Henrry Teves Pinedo
ACTIVIDAD # 2
1) El séptimo término de una PG es 243 y la razón es 3. Halla el primer término
2) En una PG el primer término vale 6 y el término de lugar 15 es vale 54. Halla el octavo término
3) En una PG se sabe que a15 = 512 y a10 = 16. Halla la razón y el primer término
4) Halla el término de lugar 16 de la PG: 1248; ; ; ;...392781
5) Halla el producto de los 11 primeros términos de la PG si sabemos que el término central es 2
6) Halla la suma de los 6 primeros términos de la PG: 421; ; ;...333
7) Sabiendo que a1 = 7 y q = 2. Halla la suma de los nueve primeros términos de la progresión geométrica
8) En una PG el primer término es -5 y la razón es 15. Halla el término de lugar 10
9) Sabiendo que a1 = 27 y q = 13. Halla el producto de los ocho primeros términos de la PG
10) Halla la suma de los 6 primeros términos de la PG: 23; 1; ;...32
11) Suponiendo que el numerador y el denominador tiene infinitos términos. Calcula el valor de la fracción
1111...3927811111...525125625
12) La suma de los términos de una PG decreciente e infinita, es el doble de la suma de los cinco primeros términos. Halla la razón
13) Sumar
2341111...3333S
14) La suma de los 6 primeros términos de una PG, es igual a nueve veces la suma de los tres primeros términos. Halla la razón
15) La diferencia entre el tercer término y el sexto término de una PG es 26 y su cociente es 27. Calcula el primer término